离散模拟每一步都要先后更新速度与位置。即使使用同一条恢复力公式，位置使用旧速度还是新速度，也会产生不同的轨迹和能量变化。

质量取一，恢复加速度为负k乘位置，步长为h。显式方法同时按旧状态计算新位置和新速度；半隐式方法先用旧位置更新速度，再用新速度更新位置。两种方法都从同一组位置和速度出发。

本例输入与约定

初始位置2、速度1，弹簧常数4，步长1/4。记录初始及十二次更新。

完整计算记录

步 | 显式位置/速度/两倍能量 | 半隐式位置/速度/两倍能量 0 | 2/1/17 | 2/1/17 1 | 9/4/-1/85/4 | 7/4/-1/53/4 2 | 2/-13/4/425/16 | 17/16/-11/4/773/64 3 | 19/16/-21/4/2125/64 | 7/64/-61/16/14933/1024 4 | -1/8/-103/16/10625/256 | -223/256/-251/64/301733/16384 5 | -111/64/-101/16/53125/1024 | -1673/1024/-781/256/5238773/262144 6 | -53/16/-293/64/265625/4096 | -8143/4096/-1451/1024/74730053/4194304 7 | -1141/256/-81/64/1328125/16384 | -30233/16384/2339/4096/935917973/67108864 8 | -611/128/817/256/6640625/65536 | -81343/65536/39589/16384/12885839333/1073741824 9 | -4071/1024/2039/256/33203125/262144 | -85673/262144/239699/65536/237162305333/17179869184 10 | -127/64/12227/1024/166015625/1048576 | 701777/1048576/1044469/262144/4856152925573/274877906944 11 | 4099/4096/14259/1024/830078125/4194304 | 6283207/4194304/3476099/1048576/87811747236053/4398046511104 12 | 9179/2048/52937/4096/4150390625/16777216 | 32754017/16777216/7621189/4194304/1305155716731173/70368744177664

表中编号仅用于识别本例的元素。读取一个结果时，应先核对它对应的输入、处理顺序和边界约定；布尔值表示条件是否成立，空集合表示没有符合要求的对象，不应把这些字段混成同一种数值。

复核方法与适用范围

每一步记录位置、速度和速度平方加k乘位置平方；最后一项是理想弹簧系统能量的两倍。计算保留精确分数，避免把舍入误差混进更新顺序的比较。

本例没有阻尼、碰撞或外力，也不保证任意步长都稳定。半隐式方法并非每一步都严格保持真实能量；选择步长仍应结合具体系统，不能把某一份表的表现当成所有参数的结论。

练习时可以先独立计算最前面的一步，再检查最后的整体不变量。若结论不同，应保留各步记录，定位第一处差异；只调整最终数字会掩盖规则理解上的问题。改变输入后也要重新演算，而不是照抄这一例的输出。