弹跳道具每次碰撞后保留一部分速度，重复多次后剩余量会按乘法减少。把每次都减去第一次损失量，会得到完全不同的过程，甚至产生不符合规则的负速度大小。

本篇使用一组可以手算或逐行复查的虚构游戏记录。先读清操作顺序与边界，再看完整过程；它不是某一款现有游戏的隐藏公式，也不要求读者安装工具。

规则与输入

道具在同一高度的水平面反复竖直碰撞，每次弹起的速度大小等于撞击前大小乘固定比例。忽略空气阻力，回到同一高度时速度大小恢复为本次弹起大小。只记大小，不把向上向下的方向符号混在其中。

首次撞击前速度大小42，每次保留2/3

逐步计算与结果

第1次撞击前速度大小42，本次保留2/3，弹起速度28；相对首次撞击前速度所对应的理想弹起高度比例为4/9，并非速度比例本身。

第2次撞击前速度大小28，本次保留2/3，弹起速度56/3；相对首次撞击前速度所对应的理想弹起高度比例为16/81，并非速度比例本身。

第3次撞击前速度大小56/3，本次保留2/3，弹起速度112/9；相对首次撞击前速度所对应的理想弹起高度比例为64/729，并非速度比例本身。

第4次撞击前速度大小112/9，本次保留2/3，弹起速度224/27；相对首次撞击前速度所对应的理想弹起高度比例为256/6561，并非速度比例本身。

第5次撞击前速度大小224/27，本次保留2/3，弹起速度448/81；相对首次撞击前速度所对应的理想弹起高度比例为1024/59049，并非速度比例本身。

第6次撞击前速度大小448/81，本次保留2/3，弹起速度896/243；相对首次撞击前速度所对应的理想弹起高度比例为4096/531441，并非速度比例本身。

第7次撞击前速度大小896/243，本次保留2/3，弹起速度1792/729；相对首次撞击前速度所对应的理想弹起高度比例为16384/4782969，并非速度比例本身。

第8次撞击前速度大小1792/729，本次保留2/3，弹起速度3584/2187；相对首次撞击前速度所对应的理想弹起高度比例为65536/43046721，并非速度比例本身。

第9次撞击前速度大小3584/2187，本次保留2/3，弹起速度7168/6561；相对首次撞击前速度所对应的理想弹起高度比例为262144/387420489，并非速度比例本身。

第10次撞击前速度大小7168/6561，本次保留2/3，弹起速度14336/19683；相对首次撞击前速度所对应的理想弹起高度比例为1048576/3486784401，并非速度比例本身。

第十次速度大小14336/19683，理想高度比1048576/3486784401，每次相对于上一次乘比例。

怎样独立复核

第几次反弹后的速度应为初始撞击速度乘保留比例的相应次方。与首次撞击前相比，最高弹起高度的比例等于速度比例的平方，因为这里假设重力固定且没有其他耗散。

这是理想化练习规则，不用它预测真实器材的反弹。比例在零和一之间时速度逐步下降，但数学上的分数不一定在有限次内精确到零；实际游戏可以另设停止阈值，本例没有偷偷加入这个阈值。

练习时可以只改变一个输入，再预测哪一步会最先改变。保留中间记录，检查空状态、相等数值和刚好落在边界的情况。最终结果碰巧相同，并不能证明两个过程等价；反过来，采用不同规则得出不同结果，也不应立即视作程序故障。